题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
侧面
,已知
,
,
,点
是棱
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在一点
,使得
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在,
或
.
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理,即可证得平面
.
(2)以为原点,分别以
,
和
的方向为
,
和
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解;
(3)假设存在点,设
,根据
,得到
的坐标,结合平面
的法向量为列出方程,即可求解.
(1)由题意,因为,
,
,∴
,
又∴,∴
,
∵侧面
,∴
.
又∵,
,
平面
∴直线平面
.
(2)以为原点,分别以
,
和
的方向为
,
和
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则有,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
∵,∴
,令
,则
,∴
设平面的一个法向量为
,
,
,
∵,∴
,令
,则
,∴
,
,
,
,∴
.
设二面角为
,则
.
∴设二面角的余弦值为
.
(3)假设存在点,设
,∵
,
,
∴,∴
∴
设平面的一个法向量为
,
∴,得
.
即,∴
或
,∴
或
.
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