题目内容
【题目】如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,O是BD的中点,E是棱CC1上任意一点.
(1)证明:BD⊥A1E;
(2)如果AB=2,,OE⊥A1E,求AA1的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据正四棱柱性质得AA1⊥平面ABCD,即得AA1⊥BD,根据正方形性质的AC⊥BD,再根据线面垂直判定定理得BD⊥平面ACC1A1,即可得结论;
(2)根据勾股定理列等量关系,解得结果.
(1)证明:连结AC,A1C1,
∵AA1⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴AA1⊥BD,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
又AC∩AA1=A,AC平面ACC1A1,AA1平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1,又A1E平面ACC1A1,
∴BD⊥A1E.
(2)∵AB=2,∴AO=CO=,A1C1=2,
设AA1=a,则C1E=a﹣,
∴OE2=4,A1O2=a2+2,A1E2=(a﹣)2+8=a2﹣2a+10,
∵OE⊥A1E,
∴A1O2=OE2+A1E2,即a2+2=4+a2﹣2a+10,
解得a=.∴AA1=.
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