题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,求平面
和平面
所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,根据线面垂直的判定定理,证明
平面
,进而可得线线垂直;
(2)以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,设
,根据题中条件,分别求出两平面的法向量,求出两向量夹角的余弦值,即可得出结果.
(1)证明:取的中点
,连接
,
因为,所以
,
又因为,所以四边形
是平行四边形.
因为所以四边形
是矩形.
所以.
又
所以.
所以是直角三角形,即
.
又底面
,
底面
,
所以.
又平面
,
平面
,且
.
所以平面
.
又平面
,
所以.
(2)如图,以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,
设,则
,
由(1)知,
,
.
,
所以.
所以
所以.
设平面的法向量为
,则
所以,即
,
取,则
,
,
所以平面的一个法向量为
.
又平面的一个法向量为
所以
所以平面和平面
所成的角(锐角)的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】我市为改善空气环境质量,控制大气污染,政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车,鼓励市民如果需要购车,可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴,同时为了地方经济发展,对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户,其中有
户购买使用本市企业生产的新能源汽车,对购买使用新能源汽车的满意度进行调研,满意度以打分的形式进行.满分
分,将分数按照
分成5组,得如下频率分布直方图.
(1)若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于
分,把得分不少于
分为满意.根据提供的条件数据,完成下面的列联表.
满意 | 不满意 | 总计 | |
购本市企业生产的新能源汽车户数 | |||
购外地企业生产的新能源汽车户数 | |||
总计 |
并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关?
(2)以频率作为概率,政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是:购买本市企业生产的每台补贴万元,购买外地企业生产的每台补贴
万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过
万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元?
附:,其中
.