Question

【题目】如图 ，在四棱锥中， , ， 为棱的中点， .

（1）证明： 平面；

（2）若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由已知条件得， ，再根据线面垂直判定定理得平面；（2）利用空间向量研究线面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,利用方程组求平面一个法向量,再利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系确定直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：由已知， ，

又，即，

且 ，

∴平面 .

（2）∵平面 ，∴为二面角的平面角，从而.

如图所示，在平面内，作， 以为原点，分别以所在直线为轴， 轴建立空间直角坐标系，

设，则，

∴.

设平面的法向量，

则，取，则.

设直线与平面所成角为,

则 .

∴直线与平面所成角的正弦值为.