题目内容
【题目】已知等差数列{an}满足a4=5,a2+a8=14,数列{bn}满足b1=1,bn+1=2 bn .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{ }的前n项和;
(3)若cn=an( )
,求数列{cn}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:∵等差数列{an}满足a4=5,a2+a8=14,
∴ ,解得a1=﹣1,d=2,
∴an=2n﹣3.
∵数列{bn}满足b1=1,bn+1=2 bn.
∴ ,∴
,
以上各式相乘,得 ,
∵b1=1,∴ .
(2)解:∵ ,
∴数列{ }的前n项和为:
=1﹣ ,
∴ .
(3)解:∵an=2n﹣3,cn=an( )
,
∴ ,
∴ ,①
2Sn=﹣12+122+…+(2n﹣5)2n﹣1+(2n﹣3)2n,②
①﹣②,得 ﹣(2n﹣3)2n
=﹣1+2 ﹣(2n﹣3)2n
=(5﹣2n)2n﹣5,
∴ .
【解析】(1)由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差,由此能求出等差数列{an}的通项公式;由已知条件得 ,由此利用累乘法能求出
.(2)由
,利用裂项求和法能求出数列{
}的前n项和.(3)
,由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Sn .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下:
方案代号 | 基本月租(元) | 免费时间(分钟) | 超过免费时间的话费(元/分钟) |
1 | 30 | 48 | 0.60 |
2 | 98 | 170 | 0.60 |
3 | 168 | 330 | 0.50 |
4 | 268 | 600 | 0.45 |
5 | 388 | 1000 | 0.40 |
6 | 568 | 1700 | 0.35 |
7 | 788 | 2588 | 0.30 |
(I)写出“套餐”中方案的月话费
(元)与月通话量
(分钟)(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式;
(II)学生甲选用方案,学生乙选用方案
,某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同,求该月学生甲的电话资费;
(III)某用户的月通话量平均为320分钟,则在表中所列出的七种方案中,选择哪种方案更合算,说明理由.