题目内容
【题目】已知函数f（x）=2cos（x+ 
）[sin（x+ ）﹣ 
cos（x+ ）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0， 
]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：函数f（x）=2cos（x+ 
）[sin（x+ ）﹣ 
cos（x+ ）]
=2cos（x+ ）sin（x+ ）﹣2 cos2（x+ ）
=sin（2x+ 
）﹣2 
=sin（2x+ ）﹣ cos（2x+ ）﹣
=2sin[（2x+ ）﹣ ]﹣
=2sin（2x+ ）﹣ ，
∴函数f（x）的最小正周期为T= 
= 
=π；
又﹣1≤sin（2x+ ）≤1，
∴﹣2﹣ ≤2sin（2x+ ）﹣ ≤2﹣ 
，
即f（x）的值域为[﹣2﹣ ，2﹣ ]；
（2）解：对任意x∈[0， 
]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，
∴[2sin（2x+ ）﹣ + ]﹣2m=0，
即sin（2x+ ）=m；
由x∈[0， ]，得2x+ ∈[ ， ]，
∴sin（2x+ ）∈[ 
，1]，
∴实数m的取值范围是m∈[ ，1]．
【解析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；（2）对任意x∈[0， ]，[f（x）+ ]﹣2m=0成立，等价于sin（2x+ ）=m；求出x∈[0， ]时sin（2x+ ）的值域即可．
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