题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M、N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为r1=13;圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2所在圆的方程;
(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
(3)已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E、F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l的距离.
(1)求圆弧C2所在圆的方程;
(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
(3)已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E、F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l的距离.
(1)x2+y2-28x-29=0.(2)P不存在(3)
(1)由题意得,圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169.令x=5,解得M(5,12),N(5,-12),又C2过点A(29,0),设圆弧C2所在圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则,解得
所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.
(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得(x-29)2+y2=30(x2+y2),即x2+y2+2x-29=0.由
解得x=-70(舍去);
由解得x=0(舍去).所以这样的点P不存在.
(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1=13,r2=15,因为EF>2r1,EF>2r2,所以E、F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF=15+,
即=18,解得d2=,所以点O到直线l的距离为.
则,解得
所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.
(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得(x-29)2+y2=30(x2+y2),即x2+y2+2x-29=0.由
解得x=-70(舍去);
由解得x=0(舍去).所以这样的点P不存在.
(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1=13,r2=15,因为EF>2r1,EF>2r2,所以E、F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF=15+,
即=18,解得d2=,所以点O到直线l的距离为.
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