Question

15．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么tanC=-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，
∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，
∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{t}^{2}+9{t}^{2}-16{t}^{2}}{2×2t×3t}$=-$\frac{1}{4}$，
∵C∈（0，π）
∴tanC=-$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}C}-1}$=-$\sqrt{15}$．
故答案为：-$\sqrt{15}$．

点评 本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．