Question

17．已知函数f（x）=e^x+e^ax-4（a∈R）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）求证函数f（x）在（-∞，+∞）内只有两个零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数是偶函数，建立方程关系即可求a的值；
（2）判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系即可判断函数f（x）在（-∞，+∞）内只有两个零点．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+e^ax-4（a∈R）为偶函数
∴f（-x）=f（x），
即e^-x+e^-ax-4=e^x+e^ax-4，
即e^-x+e^-ax=e^x+e^ax，
则a=-1；
（2）∵a=-1，
∴f（x）=e^x+e^-x-4，
f′（x）=e^x-e^-x，
当x≥0时，f′（x）≥0，即函数单调递增，
∵函数是偶函数，∴当x≤0时，函数f（x）单调递减，
∵f（0）=1+1-4=-2＜0，f（2）=e²+e^-2-4＞0，
∴函数在（0，2）中存在一个零点，
∵函数f（x）是偶函数，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）内只有两个零点．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数与方程根的关系，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．