Question

过点M(0，1)作直线，使它被两已知直线l₁:x－3y+10=0和l₂:2x+y－8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.

Answer 1

直线方程为x+4y－4=0.

本题中最重要的已知条件是M为所截得线段的中点，用好这个条件是解题的关键.
解法一:过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y=kx+1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得
x_A=,x_B=.
由题意+=0,
∴k=－.故直线方程为x+4y－4=0.
解法二:设所求直线方程y=kx+1,
代入方程(x－3y+10)(2x+y－8)=0，
得(2－5k－3k²)x²+(28k+7)x－49=0.
由x_A+x_B=－=2x_M=0,解得k=－.
∴直线方程为x+4y－4=0.
解法三:∵点B在直线2x－y－8=0上，故可设B(t,8－2t)，由中点公式得A(－t,2t－6).
∵点A在直线x－3y+10=0上，
∴(－t)－3(2t－6)+10=0,得t=4.∴B(4,0).故直线方程为x+4y－4=0.