题目内容
设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .
分析:由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性,由f(-2)=0得g(2)=0、还有g(0)=0,再通过奇偶性进行转化,利用单调性求出不等式得解集.
解答:解:设g(x)=xf(x),
则g′(x)=[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)=xf′(x)+f(x)<0,
∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∵f(-2)=0,
∴f(2)=0;
即g(2)=0且g(0)=0f(0)=0,
∴xf(x)<0化为g(x)<0,
∵对于偶函数g(x),有g(-x)=g(x)=g(|x|),
故不等式为g(|x|)<g(2),
∵函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∴|x|<2且x≠0,解得-2<x<2且x≠0,
故所求的解集为{x|-2<x<2且x≠0}.
故答案为:{x|-2<x<2且x≠0}.
则g′(x)=[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)=xf′(x)+f(x)<0,
∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∵f(-2)=0,
∴f(2)=0;
即g(2)=0且g(0)=0f(0)=0,
∴xf(x)<0化为g(x)<0,
∵对于偶函数g(x),有g(-x)=g(x)=g(|x|),
故不等式为g(|x|)<g(2),
∵函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∴|x|<2且x≠0,解得-2<x<2且x≠0,
故所求的解集为{x|-2<x<2且x≠0}.
故答案为:{x|-2<x<2且x≠0}.
点评:本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化,注意函数值为零的自变量的取值.
练习册系列答案
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2+a(a是常数).则x∈[2,4]时的解析式为( )
A、f(x)=-x2+6x-8 | B、f(x)=x2-10x+24 | C、f(x)=x2-6x+8 | D、f(x)=x2-6x+8+a |