Question

10．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，则直线y=2与函数f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得．

解答 解：∵f（x+1）为奇函数，函数图象关于（0，0）对称，
∵函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
∴f（x）=-f（2-x），即f（2-x）=-f（x）
又∵当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，
∴当x＜1时，2-x＞1，
∴此时f（2-x）=2（2-x）²-12x（2-x）16，
f（x）=-[2（2-x）²-12（2-x）+16]=-2x²-4x，
令2x²-12x+16=2，
可得x₁=3+$\sqrt{2}$，x₂=3-$\sqrt{2}$，x₁+x₂=6，
令-2x²-4x=2可得x₃=-1，
横坐标之和为5，
故选：A

点评 本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．属于基础知识的综合运用，但难度都不大，只要掌握基本知识、基本方法，就可解题．