Question

8．已知集合A={x∈R|x²+2x+a=0}．
（1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为关于x的一元二次方程x²+2ax+1=0有两个相等的实根，即△=0，进而可得a的值，求出A中的元素；（2）问题转化为△≤0，求出即可．

解答 解：（1）若集合A={x|x²+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中只有一个元素，
则关于x的一元二次方程x²+2ax+1=0有两个相等的实根，
即：△=4a²-4=0，解得，a=±1，
∴a=1时，解x²+2x+1=0，解得：x=-1，
a=-1时，解x²-2x+1=0，解得：x=1；
（2）若集合A={x|x²+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中至多一个元素，
则△=4a²-4≤0
解得：-1≤a≤1．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知分析出关于x的一元二次方程x²+2ax+1=0的根的情况，通过△，是解答的关键．