Question

【题目】已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）．
（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；
（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立． ①求实数a的值；
②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，则 ．

当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；

当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时 ，则 ．

注意到 ，因此

（2）解：①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；

当a=0时，则 ，也不符合题意．

当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．

令 ，上式即转化为lnt≥t﹣1，

设h（t）=lnt﹣t+1，则 ，因此h（t）在（0，1）上单调递增，

在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．

因此，lnt=t﹣1t=1，从而有 ．

故满足条件的实数为a=1．

②证明：由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．

注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．

当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；

当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，

当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且 ，

因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，

从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．

故x2ex＞（x+2）lnx+2sinx

【解析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0 ， 此时 ，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令 ，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．