Question

【题目】某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择． 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 ，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则不能获得奖金．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获得奖金400元．
（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；
（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
（Ⅲ）已知公司共有100人在活动中选择了方案甲，试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知X可能的取值为0，500，1000， ，
，

所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为

X	0	500	1000
P

（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方案甲抽奖所获奖金X的均值 ，（6分）
若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B（3， ），
则 ，
抽奖所获奖金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
因边E（X）＞E（ξ），
故选择方案甲较划算．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知选择方案甲不获奖的概率为 ，
这些员工不获奖的人数Y～B（100， ），
，故这些员工不获奖的人数约为28人
【解析】（Ⅰ）由题意知X可能的取值为0，500，1000，分别求出相应的概率，由此能求出某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列．（Ⅱ）求出方案甲抽奖所获奖金X的均值，选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B（3， ），从而抽奖所获奖金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，由此得到选择方案甲较划算．（Ⅲ）选择方案甲不获奖的概率为 ，这些员工不获奖的人数Y～B（100， ），由此能求出这些员工不获奖的人数．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．