题目内容
【题目】已知拋物线的焦点为
是抛物线上横坐标为4且位于
轴上方的点,点
到抛物线准线的距离等于5.过点
作
垂直于
轴,垂足为
的中点为
.
(1)求抛物线方程;
(2)过点作
,垂足为
,求点
的坐标;
(3)以点为圆心,
为半径作圆
,当
是
轴上一动点时,讨论直线
与圆
的位置关系.
【答案】(1);(2)
;(3)答案不唯一,具体见解析.
【解析】
(1)求得抛物线的准线方程,结合抛物线的定义,得到
,求得
的值,即可求得抛物线方程;
(2)根据题意,求得的坐标,得出
和
的方程,联立方程组,即可求解;
(3)得到圆的圆心是点(0,2),半径为2,分类讨论,即可求得直线和圆的位置关系,得到答案.
(1)由题意,抛物线的准线为
,
可得,解得
,所以抛物线方程为
.
(2)令,代入抛物线的方程
,解得
,
因为点在
的上方,可得
,所以点
的坐标是(4,4),
由题意,得,
又因为,可得
,又由
,所以
,
所以的方程为
,
的方程为
,
解方程组,解得
,即点
的坐标为
.
(3)由题意,得圆的圆心是点(0,2),半径为2,
当时,直线
的方程为
,此时,直线
与圆
相离;
当时,直线
的方程为
,即为
,
圆心到直线
的距离
,
令,解得
,
所以当时,直线
与
相离;当
时,直线
与圆
相切;当
时,直线
与圆
相交.
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