题目内容
【题目】过抛物线的焦点的直线交抛物线于
两点,且直线
的斜率分别为
,则
中有几个是定值?反过来是否成立?
【答案】3个均为定值,反过来不一定成立
【解析】
根据直线是否存在斜率进行分类讨论,当存在斜率时,将直线方程与抛物线方程联立,利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可,当不存在斜率时,直接求出
坐标,再进行验证;反过来时,假设三个都是定值,直线
是否存在斜率进行分类讨论,当存在斜率时,将直线方程与抛物线方程联立,利用一元二次方程根与系数的关系进行判断直线
是否过抛物线的焦点,当不存在斜率时,直接求出
坐标,再进行判断直线
是否过抛物线的焦点即可;
解:设直线的方程为
,即
.
代入,得
,则
.
又.
若直线与
轴垂直,由
,得
.
可求得,则
.
故均为定值.
反过来,当时,设直线
的方程为
,即
,代入抛物线方程,得
,则
.
即直线过焦点
.若直线
的斜率不存在,也同样有此结论.
若,则
可能为抛物线上
轴上方的两点,则此直线
一定不过焦点.
因此由不能得到直线
过焦点.
若.
故当时,直线
也过焦点,若直线
的斜率不存在,也同样有此结论.
综上所述可知,分别为定值
;反过来,只有
时,才有直线
过焦点.
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