题目内容
【题目】已知等差数列满足
,
,数列
的前
项和为
满足
.
(Ⅰ)求和
的通项公式;
(Ⅱ)若,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)根据题设条件,列出方程组求得的值,即可得到得出数列
的通项公式,再利用数列的递推关系,得到数列
是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出数列的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,利用乘公比错位相减法,即可求解.
(Ⅰ)设等差数列的公差为
,
因为,
,可得
,解得
,
所以,
对于数列,当
时,
,解得
.
当时,
,
,
两式相减,得,即
,
所以是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
令,
当时,
.
当时,
,
则.
两式相减,得
,
得,而
时也符合该式,所以
,
故题中不等式可化为.(*),
当时,不等式(*)可化为
,解得
;
当时,不等式(*)可化为
,此时
;
当时,不等式(*)可化为
,因为数列
是递增数列,所以
,
综上,实数的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】某校为了解家长对学校食堂的满意情况,分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分,其频数分布表如下:
满意度评分分组 | 合计 | |||||
高一 | 1 | 3 | 6 | 6 | 4 | 20 |
高二 | 2 | 6 | 5 | 5 | 2 | 20 |
根据评分,将家长的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 评分 | 70 | 评分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
假设两个年级家长的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长,记事件:“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”,则事件
发生的概率为__________.