Question

【题目】（本题满分13分）

某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为元（为常数，且，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为元（），根据市场调查，销售量与成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.

（Ⅰ）求该工厂的每日利润元与每公斤蘑菇的出厂价元的函数关系式；

（Ⅱ）若，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设日销量………………2分

日销量

. ………………7分

（Ⅱ）当时，………………8分

………………10分

，

. ………………12分

当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为元. …………13分

【解析】

（1）由条件“日销售量与（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为 ，根据日利润每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．
（2）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在范围内，利用单调性求出函数的最值．

(1)设日销量 (k≠0)，则＝100，

∴k＝100e30，

∴日销量，

∴ (25≤x≤40)．

(2)当t＝5时，，.

由y′≥0得x≤26，由y′≤0，得x≥26，

∴y在区间[25,26]上单调递增，在区间[26,40]上单调递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4，

即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元．