Question

【题目】已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点， 为中点，点到轴的距离为， .

（1）求的值；

（2）过分别作的两条切线， .请选择轴中的一条，比较到该轴的距离.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义可得，所以.

（2）由可得，由切线 ①，

②，， 作差比较可得结论.

试题解析：（1）设抛物线的准线为，如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为.

，

所以，所以.

（2）由（1）得，抛物线，

因为直线不垂直于轴，可设.

由，消去得， ，

由韦达定理得， ，

所以.

抛物线，即，故，

因此，切线的斜率为，切线的方程为，

整理得 ①，

同理可得 ②，

联立①②并消去，得，

把代入①，得，故.

因为， ，

所以到轴的距离相等； 到轴的距离不小于到轴的距离.

（注：只需比较到轴或轴的距离中的一个即可）

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决．