题目内容

已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,|
F1F2
|=2
,离心率e=
1
2
,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l的倾斜角为
π
4
,求线段MN中点的坐标.
(1)∵2c=|
F1F2
|=2
,∴c=1,
又由e=
c
a
=
1
2
,得a=2,∴b2=22-12=3,
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)∵F2(1,0),kl=tan
π
4
=1

∴直线l:y=x-1,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
线段MN的中点为G(x0,y0).
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1

得7x2-8x-8=0,
x1+x2=
8
7

x0=
x1+x2
2
=
4
7
y0=x0-1=-
3
7

故线段MN的中点为(
4
7
,-
3
7
)
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