题目内容
已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率为
,以线段F1F2为直径的圆的面积为π,设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A、B两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF1面积的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF1面积的取值范围.
(1)由离心率为
得:
=
①
又由线段F1F2为直径的圆的面积为π得:πc2=π,c2=1②
由①,②解得a=
,c=1,∴b2=1,
∴椭圆方程为
+y2=1
(2)由题意,F2(1,0),设l的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆方程
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(x0,y0),则
x0=
,y0=k(x0-1)=-
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-
(x-x0)
令y=0,得m=x0+ky0=
=
由于
>0即2+
>2,
∴0<m<
;
(3)由(2)知,x1+x2=
,x1x2=
∴|x1-x2|=
∴|y1-y2|=
∴S△ABF1=
×2×|y1-y2|=
设2k2+1=t,则t>1,∴S△ABF1=
×
∵t>1,∴0<
<1,∴0<S△ABF1<
| ||
2 |
c |
a |
| ||
2 |
又由线段F1F2为直径的圆的面积为π得:πc2=π,c2=1②
由①,②解得a=
2 |
∴椭圆方程为
x2 |
2 |
(2)由题意,F2(1,0),设l的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆方程
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(x0,y0),则
x0=
2k2 |
2k2+1 |
2k |
2k2+1 |
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-
1 |
k |
令y=0,得m=x0+ky0=
k2 |
2k2+1 |
1 | ||
2+
|
由于
1 |
k2 |
1 |
k2 |
∴0<m<
1 |
2 |
(3)由(2)知,x1+x2=
4k2 |
2k2+1 |
2k2-2 |
2k2+1 |
∴|x1-x2|=
2
| ||
2k2+1 |
∴|y1-y2|=
2|k|
| ||
2k2+1 |
∴S△ABF1=
1 |
2 |
2|k|
| ||
2k2+1 |
设2k2+1=t,则t>1,∴S△ABF1=
2 |
1-
|
∵t>1,∴0<
1 |
t2 |
2 |
练习册系列答案
相关题目