题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率为
2
2
,以线段F1F2为直径的圆的面积为π,设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A、B两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF1面积的取值范围.
(1)由离心率为
2
2
得:
c
a
=
2
2

又由线段F1F2为直径的圆的面积为π得:πc2=π,c2=1②
由①,②解得a=
2
,c=1,∴b2=1,
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(2)由题意,F2(1,0),设l的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆方程
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(x0,y0),则
x0=
2k2
2k2+1
,y0=k(x0-1)=-
2k
2k2+1

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-
1
k
(x-x0
令y=0,得m=x0+ky0=
k2
2k2+1
=
1
2+
1
k2

由于
1
k2
>0即2+
1
k2
>2,
∴0<m<
1
2

(3)由(2)知,x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

∴|x1-x2|=
2
2k2+2
2k2+1

∴|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

∴S△ABF1=
1
2
×2
×|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

设2k2+1=t,则t>1,∴S△ABF1=
2
×
1-
1
t2

∵t>1,∴0<
1
t2
<1,∴0<S△ABF1
2
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