题目内容
已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c;若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上任一点P(x0,y0)作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
(a-c).
(Ⅰ)证明:|PF2|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)证明:|PF2|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.
(Ⅰ)证明:设椭圆上任一点Q的坐标为(x0,y0),
Q点到右准线的距离为d=
-x0,
则由椭圆的第二定义知:
=
,
∴|QF2|=a-
x0,又-a≤x0≤a,
∴当x0=a时,
∴|QF2|min=a-c.
(Ⅱ)依题意设切线长|PT|=
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,
∴
≥
(a-c),
∴0<
≤
,从而解得
≤e<
;
(Ⅲ)依题意Q点的坐标为(1,0),则直线的方程为y=2(x-1),
与椭圆方程
+y2=1联立方程组,消去y得(4a2+1)x2-8a2x+3a2=0
设A(x1,y1)(x2,y2),则有x1+x2=
,x1x2=
,
代入直线方程得y1y2=
,
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0
∴
+
=0
∴a=2
∴椭圆方程为
+y2=1.
Q点到右准线的距离为d=
a2 |
c |
则由椭圆的第二定义知:
|QF2| |
d |
c |
a |
∴|QF2|=a-
c |
a |
∴当x0=a时,
∴|QF2|min=a-c.
(Ⅱ)依题意设切线长|PT|=
|PF2|2-(b-c)2 |
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,
∴
(a-c)2-(b-c)2 |
| ||
2 |
∴0<
b-c |
a-c |
1 |
2 |
3 |
5 |
| ||
2 |
(Ⅲ)依题意Q点的坐标为(1,0),则直线的方程为y=2(x-1),
与椭圆方程
x2 |
a2 |
设A(x1,y1)(x2,y2),则有x1+x2=
8a2 |
4a2+1 |
3a2 |
4a2+1 |
代入直线方程得y1y2=
4-4a2 |
4a2+1 |
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0
∴
3a2 |
4a2+1 |
4-4a2 |
4a2+1 |
∴a=2
∴椭圆方程为
x2 |
4 |
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