题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c;若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上任一点P(x0,y0)作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c).
(Ⅰ)证明:|PF2|的最小值为a-c;
(Ⅱ)求椭圆的离心率e的取值范围;
(Ⅲ)若椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点,若OA⊥OB,求椭圆的方程.
(Ⅰ)证明:设椭圆上任一点Q的坐标为(x0,y0),
Q点到右准线的距离为d=
a2
c
-x0
则由椭圆的第二定义知:
|QF2|
d
=
c
a

∴|QF2|=a-
c
a
x0,又-a≤x0≤a,
∴当x0=a时,
∴|QF2|min=a-c.
(Ⅱ)依题意设切线长|PT|=
|PF2|2-(b-c)2

∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,
(a-c)2-(b-c)2
3
2
(a-c),
∴0<
b-c
a-c
1
2
,从而解得
3
5
≤e<
2
2

(Ⅲ)依题意Q点的坐标为(1,0),则直线的方程为y=2(x-1),
与椭圆方程
x2
a2
+y2=1
联立方程组,消去y得(4a2+1)x2-8a2x+3a2=0
设A(x1,y1)(x2,y2),则有x1+x2=
8a2
4a2+1
,x1x2=
3a2
4a2+1

代入直线方程得y1y2=
4-4a2
4a2+1

∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0
3a2
4a2+1
+
4-4a2
4a2+1
=0
∴a=2
∴椭圆方程为
x2
4
+y2=1

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