题目内容
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
,0),(
,0),离心率是
,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当T变化时,求y的最大值.
2 |
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3 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当T变化时,求y的最大值.
(Ⅰ)因为
=
,且c=
,所以a=
,b=
=1
所以椭圆C的方程为
+y2=1
(Ⅱ)由题意知p(0,t)(-1<t<1)
由
得x=±
所以圆P的半径为
,
则有t2=3(1-t2),
解得t=±
所以点P的坐标是(0,±
)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以y=t±
≤t+
设t=cosθ,θ∈(0,π),则t+
=cosθ+
sinθ=2sin(θ+
)
当θ=
,即t=
,且x=0,y取最大值2.
c |
a |
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3 |
2 |
3 |
a2-c2 |
所以椭圆C的方程为
x2 |
3 |
(Ⅱ)由题意知p(0,t)(-1<t<1)
由
|
3(1-t2) |
所以圆P的半径为
3(1-t2) |
则有t2=3(1-t2),
解得t=±
| ||
2 |
| ||
2 |
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以y=t±
3(1-t2)-x2 |
3(1-t2) |
设t=cosθ,θ∈(0,π),则t+
3(1-t2) |
3 |
π |
6 |
当θ=
π |
3 |
1 |
2 |
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