题目内容

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
,0)
(
2
,0)
,离心率是
6
3
,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当T变化时,求y的最大值.
(Ⅰ)因为
c
a
=
6
3
,且c=
2
,所以a=
3
,b=
a2-c2
=1

所以椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1

(Ⅱ)由题意知p(0,t)(-1<t<1)
y=t
x2
3
+y2=1
x=±
3(1-t2)

所以圆P的半径为
3(1-t2)

则有t2=3(1-t2),
解得t=±
3
2
所以点P的坐标是(0,±
3
2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以y=t±
3(1-t2)-x2
≤t+
3(1-t2)

设t=cosθ,θ∈(0,π),则t+
3(1-t2)
=cosθ+
3
sinθ=2sin(θ+
π
6
)

θ=
π
3
,即t=
1
2
,且x=0,y取最大值2.
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