Question

11．若函数y=（log_ax）²-2log_ax+b（0＜a＜1）的定义域为[2，4]，值域为[$\frac{25}{4}$，8]，求a，b的值．

Answer 1

分析 根据题意，结合对数函数的图象与性质，利用复合函数的性质，求出函数y的最大与最小值，
再列出方程组，求出a、b的值．

解答 解：∵0＜a＜1，x∈[2，4]；
∴log_ax∈[log_a4，log_a2]，
∴y=${{（log}_{a}x）}^{2}$-2log_ax+b的最大值是
y_max=${{（log}_{a}4）}^{2}$-2log_a4+b=8，
最小值是y_min=${{（log}_{a}2）}^{2}$-2log_a2+b=$\frac{25}{4}$；
∴y_max-y_min=${{（log}_{a}4）}^{2}$-2log_a4-${{（log}_{a}2）}^{2}$+2log_a2=$\frac{7}{4}$，
化简得12${{（log}_{a}2）}^{2}$-8log_a2-7=0，
解得log_a2=-$\frac{1}{2}$或log_a2=$\frac{7}{6}$，
即a=$\frac{1}{4}$或a=${2}^{\frac{6}{7}}$（大于1，应舍去）；
当a=$\frac{1}{4}$时，b=5．
综上，a=$\frac{1}{4}$、b=5．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，考查了方程组的应用问题，是综合性题目．