题目内容

已知函数f(x)lg(axbx)(a>1>b>0)

(1)求函数yf(x)的定义域;

(2)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴;

(3)ab满足什么关系时f(x)在区间上恒取正值.

 

1(0∞)2不存在3a≥b1

【解析】(1)axbx>0x>1因为a>1>b>0所以>1所以x>0即函数f(x)的定义域为(0∞)

(2)x1>x2>0因为a>1>b>0所以ax1>ax2bx1<bx2则-bx1>bx2所以ax1bx1>ax2bx2>0于是lg(ax1bx1)>lg(ax2bx2)f(x1)>f(x2)因此函数f(x)在区间(0∞)上是增函数.假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1y1)B(x2y2)使得直线AB平行于xx1x2y1y2这与f(x)是增函数矛盾.故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴.

(3)(2)f(x)在区间(1∞)上是增函数所以当x∈(1∞)f(x)>f(1)故只需f(1)≥0lg(ab)≥0ab≥1所以当a≥b1f(x)在区间(1∞)上恒取正值.

 

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