题目内容
已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于x轴;
(3)当a、b满足什么关系时,f(x)在区间上恒取正值.
(1)(0,+∞)(2)不存在(3)a≥b+1
【解析】(1)由ax-bx>0,得x>1,因为a>1>b>0,所以>1,所以x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设x1>x2>0,因为a>1>b>0,所以ax1>ax2,bx1<bx2,则-bx1>-bx2,所以ax1-bx1>ax2-bx2>0,于是lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),即f(x1)>f(x2),因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),使得直线AB平行于x轴,即x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点,使过此两点的直线平行于x轴.
(3)由(2)知,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),故只需f(1)≥0,即lg(a-b)≥0,即a-b≥1,所以当a≥b+1时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值.
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