Question

11．若函数f（x）=$\sqrt{9{x}^{2}+3x+1}$-$\sqrt{9{x}^{2}-3x+1}$-a存在零点，则实数a的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 化简a=$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．

解答 解：由题意得，
a=$\sqrt{9{x}^{2}+3x+1}$-$\sqrt{9{x}^{2}-3x+1}$
=$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$；
$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$表示了点A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）与点C（3x，0）的距离，
$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$表示了点B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）与点C（3x，0）的距离，
如下图，

结合图象可得，
-|AB|＜$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$＜|AB|，
即-1＜$\sqrt{（3x+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（3x-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$＜1，
故实数a的取值范围是（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用．