题目内容

18.已知椭圆C:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系(取同样单位长度),直线l的极坐标方程为ρcos(θ+$\frac{π}{3}$)═-$\frac{9}{2}$.
(Ⅰ)写出椭圆C的参数方程及直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值.

分析 (I)利用sin2α+cos2α=1即可把曲线C的普通方程化为参数方程;利用x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程;
(II)设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程,与椭圆方程联立,令△=0,解得m,求出两条平行线之间的距离即可.

解答 解:(I)利用sin2α+cos2α=1,可得圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$;
ρcos(θ+$\frac{π}{3}$)=-$\frac{9}{2}$,可化为$\frac{1}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=-$\frac{9}{2}$,
∴直线l的直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y+9=0;
(II)设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为x-$\sqrt{3}$y+m=0,
与椭圆方程联立,化为$13{y}^{2}-6\sqrt{3}my+3{m}^{2}-12=0$,
令△=0,化为m2=13,解得m=±$\sqrt{13}$.
取m=$\sqrt{13}$,
则M到直线l的距离的最大值$\frac{9-\sqrt{13}}{2}$.

点评 本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与椭圆相切问题、平行线之间的距离等基础知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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