Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的右焦点F的直线l₁与椭圆交于A、B，过F与直线l₁垂直的直线l₂与椭圆交于C、D，与直线l₃：x=4交于P；
①求证：直线PA、PF、PB的斜率k_PA，k_PF，k_PB成等差数列；
②是否存在常数λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，可得e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切，求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）①分直线AB的斜率存在和不存在讨论，当直线的斜率不存在时，可得直线PA、PF、PB的斜率k_PA，
k_PF，k_PB成等差数列；当直线的斜率存在时，设出直线AB的方程，和椭圆方程联立，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，再求出P的坐标，由k_PA+k_PB=2k_PF得答案；
②联立AB、CD所在直线方程与椭圆方程，由弦长公式求得|AB|、|CD|的长度，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|即可求得λ的值．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∵椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
∴b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，则a²=b²+c²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①证明：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左焦点F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，联立直线方程和椭圆方程可得：
A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），此时k_PA与k_PB互为相反数，则k_PA，k_PF，k_PB成等差数列；
当直线AB的斜率存在时，设过其右焦点F的直线AB的方程为：y=k（x-1），k≠0，
CD的直线方程为y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
在CD的方程中，取x=4，得y=-$\frac{3}{k}$，∴P（4，$-\frac{3}{k}$），
则k_PA+k_PB=$\frac{\frac{-3}{k}-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}+\frac{\frac{-3}{k}-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$
=$\frac{（-\frac{3}{k}-{y}_{1}）（4-{x}_{2}）+（-\frac{3}{k}-{y}_{2}）（4-{x}_{1}）}{（4-{x}_{1}）（4-{x}_{2}）}$
=$\frac{-\frac{24}{k}+（\frac{3}{k}-5k）（{x}_{1}+{x}_{2}）+8k+2k{x}_{1}{x}_{2}}{16-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{-\frac{24}{k}+（\frac{3}{k}-5k）•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+8k+2k•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}{16-4•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{-\frac{72}{k}-72k}{36（{k}^{2}+1）}=-\frac{2}{k}=2{k}_{PF}$．
综上，k_PA、k_PF、k_PB成等差数列；
②解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左焦点F（1，0），
设过其右焦点F的直线AB的方程为：y=k（x-1），k≠0，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$
$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
同理设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=$\frac{12（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{3+4{k}^{2}}=\frac{12（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+4}$，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=$\frac{|AB|+|CD|}{|AB|•|CD|}$=$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（{k}^{2}+1）}+\frac{3{k}^{2}+4}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{7（{k}^{2}+1）}{12（{k}^{2}+1）}=\frac{7}{12}$．
∴存在λ=$\frac{7}{12}$，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评 本题重点考查直线与圆锥曲线的综合，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，综合性强，属于难题．