题目内容
【题目】设椭圆的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
.已知
是抛物线
的焦点,
到抛物线的准线
的距离为
.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点
,
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
(
异于点
),直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ),
.(Ⅱ)
,或
.
【解析】试题分析:由于为抛物线焦点,
到抛物线的准线
的距离为
,则
,又椭圆的离心率为
,求出
,得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则
,设直线
方程为设
,解出
两点的坐标,把直线
方程和椭圆方程联立解出
点坐标,写出
所在直线方程,求出点
的坐标,最后根据
的面积为
解方程求出
,得出直线
的方程.
试题解析:(Ⅰ)解:设的坐标为
.依题意,
,
,
,解得
,
,
,于是
.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为
.
(Ⅱ)解:设直线的方程为
,与直线
的方程
联立,可得点
,故
.将
与
联立,消去
,整理得
,解得
,或
.由点
异于点
,可得点
.由
,可学*科.网得直线
的方程为
,令
,解得
,故
.所以
.又因为
的面积为
,故
,整理得
,解得
,所以
.
所以,直线的方程为
,或
.
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