Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$不平行于$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|_min=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，利用数量积运算性质可得：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-$\frac{3}{-8（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$≤-$\frac{1}{2}$，（0＜λ＜1）．即可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{2-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$不平行于$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{1}{4}$=${\overrightarrow{c}}^{2}$=λ²+（1-λ）²+2λ（1-λ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，（0＜λ＜1）．
化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{-8{λ}^{2}+8λ-3}{8λ（1-λ）}$=1+$\frac{3}{8{λ}^{2}-8λ}$=1-$\frac{3}{-8（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$≤-$\frac{1}{2}$，
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{2-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$≥$\sqrt{2-2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|_min=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．