Question

9．已知点A（0，4），点P在直线x-2y=0上运动．以线段AP为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．

Answer 1

分析 求出圆的方程，根据圆的方程建立方程组关系即可得到结论．

解答 解：∵点P在直线x-2y=0上运动，
∴设P（2a，a），设定点坐标为C（x，y），
则以PA为直径的圆的方程为x（x-2a）+（y-4）（y-a）=0，
即x²+y²-2ax-（a+4）y+4a=0，
即x²+y²-4y+a（-2x-y+4）=0，
若直线过定点，则满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\\{-2x-y+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
即圆过定点（0，4）和（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题主要考查圆的方程的应用，以及圆过定点问题，综合考查学生的计算能力．