题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为
、
，点
满足：
.已知直线l与椭圆C相交于A，B两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且
，求直线l的方程；
（3）若直线l与曲线
相切于点
（
），且
中点的横坐标等于
，证明：符合题意的点T有两个，并任求出其中一个的坐标.
【答案】（1）
（2）
或
（3）证明见解析；其中一个的坐标为
【解析】
（1）根据题意计算得到
，
，解得答案.
（2）设
，
，由题意
，则可设直线l的方程为：
，联立方程，根据韦达定理得到
，
，代入计算得到答案.
（3）设
，
，设直线l的方程为：
，联立方程得到
，根据切线方程得到
，根据对应函数的单调性得到答案.
（1）设椭圆C焦距为
，因为椭圆C的短轴长和焦距相等，
所以
，①，
因为
，所以点Q在椭圆C上，
将
代入
得：②，
由①②解得：
，
，所以椭圆C的方程为，
（2）设，，由题意，则可设直线l的方程为：，
由
得：
，
所以，，
又因为
，所以
，
，
所以
，解得：
，
，
所以
，
所以
，解得：
，
所以直线l的方程为：或.
（3）设，，由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，
由
得：
，则，
因为直线l与曲线
相切于点
（
），
所以
，
，所以
，
整理得，
令
（），所以
，
因为
在
上单调递增；且
，
，
所以，存在
（
）使得
.
因此
在
上单调递减，在
上单调递增；所以
，
又因为
，所以，
，
又因为
，
因此除零点
外，在
上还有一个零点，
所以，符合题意的点T有两个，其中一个的坐标为
.
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