Question

12．在如图所示的多面体中，底面BCFE是梯形，EF∥BC，EF⊥EB，平面ABE与平面BCFE所成的角为直二面角，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，G为BC中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCFE；
（Ⅱ）求异面直线AE与CD所成角的正切；
（Ⅲ）求证：BD⊥EG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由面面垂直的性质得EF⊥平面ABE，由勾股定理得AE⊥BE，由此能证明AE⊥面BCFE．
（Ⅱ）由垂直得AE⊥EG，从而得到AG∥CD，进而得到∠EAG是异面直线AE与CD所成的角，由此能求出异面直线AE与CD所成的角的正切值
（Ⅲ）过D作DH∥AE，交EF于H，由线面垂直得DH⊥GE，从而GE⊥平面BDH，由此能证明GE⊥BD．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面ABE⊥平面BCFE，交线为BE，EF⊥BE，
∴EF⊥平面ABE，
∵AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，
又∵BE∩EF=E，∴AE⊥面BCFE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AE⊥平面BCFE，
∵EG?平面BCFE，∴AE⊥EG，
又由已知得AD$\underset{∥}{=}$GC，连结AG，得平行四边形ADCG，
∴AG∥CD，
∵∠EAG为锐角，∴∠EAG是异面直线AE与CD所成的角，
又∵BE=BG=2，∠EBG=90°，∴EG=2$\sqrt{2}$，∴tan$∠EAG=\sqrt{2}$，
∴异面直线AE与CD所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）证明：过D作DH∥AE，交EF于H，连结GH，BH，
∵AE⊥平面BCFE，∴DH⊥面BCFE，
∴DH⊥GE，
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，四边形BGHE为正方形，∴BH⊥GE，
又∵BH∩DH=H，∴GE⊥平面BDH，
∴GE⊥BD．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．