题目内容
【题目】已知椭圆:
上顶点为
,右顶点为
,离心率
,
为坐标原点,圆
:
与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线:
(
)与椭圆
相交于
两不同点,若椭圆
上一点
满足
,求
面积的最大值及此时的
.
【答案】(1);(2)
时,
的面积的最大值为
.
【解析】试题分析:
(1)利用写出直线
的方程,由圆
与直线
相切可得
的一个方程,由离心率又得
,结合
可解得
,得标准方程;(2)把直线方程
与椭圆方程联立方程组,消去
后得
的一元二次方程,由判别式大于0得
的取值范围,设交点为
,由韦达定理得
,利用椭圆中的弦长公式求得弦长
,再求得原点
到直线
的距离(即为
到直线
距离),于是
的面积就可用
表示出来了,再由换元法(设
)可求得最大值.
试题解析:
(1)由题意,直线的方程为
,即为
.因为圆
与直线
相切,所以
,…………①
设椭圆的半焦距为,因为
,
,所以
,…………②
由①②得,所以椭圆
的标准方程为
.
(2)由可得
,设
,则
∴,
所以,
又点到直线
的距离
,
∵,∴
,又因为
得,又
,∴
,令
,则
,所以当
,
时,
最大值为
,所以当
时,
的面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下图是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.
(Ⅰ) 求的值并估计全校3000名学生中“读书迷”大概有多少?(将频率视为概率)
(Ⅱ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
附: ,
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |