题目内容
【题目】在函数定义域内,若存在区间,使得函数值域为
,则称此函数为“
档类正方形函数”,已知函数
.
(1)当时,求函数
的值域;
(2)若函数的最大值是1,求实数
的值;
(3)当时,是否存在
,使得函数
为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)存在,
.
【解析】
(1)根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数的值域;
(2)利用换元法设,然后对参数
进行分类讨论,分
和
两种情况进行讨论函数
的最大值,根据最大值取得的情况计算出
的取值;
(3)继续利用换元法设,设真数为
,根据二次函数的性质可得
在
上为增函数,则
,将问题转化为方程
在
上有两个不同实根进行思考,再次利用换元法转化为一元二次方程,根据
,及韦达定理可计算出实数
的取值范围.
(1)时,
,
因为.
所以,
所以函数的值域为
(2)设,则
,
若,则函数
无最大值,
即无最大值,不合题意;
故,因此
最大值在
时取到,
且,所以
,
解得或
,
由,所以
.
(3)因为时,设
.设真数为
.
此时对称轴,
所以当时,
为增函数,且
,
即在
上为增函数.
所以,,
即方程在
上有两个不同实根,
即,设
.
所以.
即方程有两个大于l的不等实根,
因为,
所以,
解得,
即存在,使得函数
为“1档类正方形函数”,且
.
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