题目内容
【题目】（1）若
个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求
的最小值，并说明理由；
（2）若个棱长为正整数的正方体的体积之和等于
，求的最小值，并说明理由.
【答案】（1）4（2）4
【解析】
（1）因为
，
所以，存在
，使
.
又
，
，
，
，且
，则
.
若
，因
，则最大正方体的棱长只能为11或12.
而
，
，
由674与277均不是完全立方数，故不可能.
若
，设此3个正方体中最大一个的棱长为
.由
，知最大正方体的棱长只能为9、10、11或12.
而
，
，
，故
；
，
，
，
，
故
；
，
，
，
，
故
；
，
，
，
故
，
所以，不可能.
综上所述，
.
（2）设
个正方体的棱长分别是
，则
. ①
由
，
，得
. ②
又当
时，
，
，所以，
，
，
. ③
式①模9，并由式②、③可知
.
而
，
则
.
故为所求的最小值.
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1 | 不超过3000元的部分 |
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2 | 超过3000元至12000元的部分 |
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3 | 超过12000元至25000元的部分 |
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