题目内容
【题目】在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段
,
为垂足,当点
在圆上运动时,点
在线段
上,且
,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过抛物线:
的焦点
作直线
交抛物线于
,
两点,过
且与直线
垂直的直线交曲线
于另一点
,求
面积的最小值,以及取得最小值时直线
的方程.
【答案】(1),(2)9 ,
【解析】
(1)利用相关点法求轨迹方程,设,则
,代入圆的方程
,整理,即可.
(2)法一:分类讨论,当直线的斜率不存在时,
,
,
,当直线
的斜率存在时,则
,设直线
的方程为
,与
,联立整理
,计算
,设直线
的方程为
,与
,联立整理
,计算
,根据
,令
,则
,
,判断单调性,确定
时,
面积最小,求解即可. 法二:设直线
的方程设为
,与
联立,计算
,设直线
的方程为
与
,联立,计算
,以下同法一.
(1)设,
,则由于
,依题知:
,
.即
,
,
而点在圆
上,故
,
得,故曲线
的方程为
.
(2)法一:抛物线的焦点为
,
当直线的斜率不存在时,
,
,
,
当直线的斜率存在时,则
,设
,
,
直线的方程设为
,代入
,
消去得
,即
,
则,
,
∴,
的直线方程为:
,代入
,
消去得,
,
,
,
,
,
面积:
,
令,则
,则
,
,
令,则
,即
,当
时,
为减函数,当
时,
为增函数,所以
时,
面积最小.
由得
时,
面积的最小值为
,
此时直线的方程为:
,即
.
法二:抛物线的焦点为
,
过点的直线
的方程设为:
,设
,
,
联立得
.则
,
,
∴,
过且与直线
垂直的直线设为:
,
联立得,
,
,
.
∴,
面积
.
令,则
,
,
令,则
,即
,当
时,
为减函数,当
时,
为增函数,所以
时,
面积最小.
由得
时,
面积的最小值为9,
此时直线的方程为:
,即
.
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