题目内容
【题目】已知椭圆的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且
,
为等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,点M在椭圆C上且位于第一象限内,它关于坐标原点O的对称点为N;过点M作x轴的垂线,垂足为H,直线与椭圆C交于另一点J,若
,试求以线段
为直径的圆的方程;
(3)已知是过点A的两条互相垂直的直线,直线
与圆
相交于
两点,直线
与椭圆C交于另一点R;求
面积取最大值时,直线
的方程.
【答案】(1) (2)
(3)
.(也可写成
.)
【解析】
(1)由椭圆左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且,
为等边三角形,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设,则由条件,知
,
,且
,
.推导出
,进而求得直线NH的方程:
.由
求得
.再求出线段
的中点坐标,由此能求出以线段
为直径的圆的方程.
(3)当直线的斜率为0时,
.当直线
的斜率存在且不为0时,设其方程为
,利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式,结合已知条件能求出结果.
(1)∵椭圆的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B
且,
为等边三角形.
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/16/4563b58f/SYS202011261634395958592133_DA/SYS202011261634395958592133_DA.022.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/16/4563b58f/SYS202011261634395958592133_DA/SYS202011261634395958592133_DA.023.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/16/4563b58f/SYS202011261634395958592133_DA/SYS202011261634395958592133_DA.001.png)
(2)设,则由条件,知
,
,且
,
.
从而.
于是由及
,得
.
再由点M在椭圆C上,得,求得
.
所以,
进而求得直线NH的方程:.
由求得
.
进,
线段的中点坐标为
.
∴以线段为直径的圆的方程为:
.
(3)当直线的斜率不存在时,直线
与椭圆C相切于点A,不合题意,
当直线的斜率为0时,由题意得
.
当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为
,
则点O到直线的距离为
,从而由几何意义,得
,
由于,故直线
的方程为
,由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为
,
于是.
故,
令,则
,
当且仅当即
时,上式取等号.
∵,故当
时,
,
此时直线的方程为:
.(也可写成
.)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每本单价(元)试销l天,得到如表单价
(元)与销量
(册)数据:
单价 | |||||
销量 |
(1)已知销量与单价
具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)若该书每本的成本为元,要使得售卖时利润最大,请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元?(结果保留到整数)
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.