Question

【题目】设正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且a +2an=4Sn（n∈N*）．
（1）求an；
（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn= （n∈N* ， n≥2），求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a12+2a1=4S1=4a1，

解得a1=2，

当n＞1时，an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1，

又a +2an=4Sn（n∈N*）．

两式相减可得，a ﹣an﹣12+2an﹣2an﹣1=4Sn﹣4Sn﹣1=4an，

即有（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

可得an﹣an﹣1=2，

则an=a1+2（n﹣1）=2n：

（2）解：b1=1，bn= = = （ ﹣ ），

前n项和Tn=1+ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

=1+ （ + ﹣﹣ ﹣ ）

= ﹣ ．

【解析】（1）令n=1，求得首项为2；再由n＞1时，将n换为n﹣1，相减可得an﹣an﹣1=2，再由等差数列的通项公式，计算即可得到所求；（2）求得bn= = （ ﹣ ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．