题目内容
【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值为M．
（1）若b=2，试求出M；
（2）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
【答案】
（1）解：当b=2时，f（x）=﹣x2+2bx+c在区间[﹣1，1]上是增函数，
则M是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，
又g（﹣1）=|﹣5+c|，g（1）=|3+c|，
则 
；
（2）解：g（x）=|f（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c|，
（i）当|b|＞1时，y=g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，
则M=max{g（﹣1），g（1）}，
而g（﹣1）=|﹣1﹣2b+c|，g（1）=|﹣1+2b+c|，
则2M≥g（﹣1）+g（1）≥|f（﹣1）﹣f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．
（ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1，1]之内，
此时M=max{g（﹣1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|b2+c|，
①当﹣1≤b≤0时，有f（1）≤f（﹣1）≤f（b），
则M=max{g（b），g（1）} 
（g（b）+g（1）） |f（b）﹣f（1）|= 
；
②当0＜b≤1时，有f（﹣1）≤f（1）≤f（b）．
则M=max{g（b），g（﹣1）} （g（b）+g（﹣1）） |f（b）﹣f（﹣1）|= 
．
综上可知，对任意的b、c都有 
．
而当b=0， 
时， 
在区间[﹣1，1]上的最大值 ，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为 
【解析】（1）把b=2代入函数解析式，由函数在区间[﹣1，1]上是增函数得到M是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，由此根据c的范围试求出M；（2）把函数g（x）配方，然后分|b|＞1时，|b|≤1时由函数y=g（x）的单调性求出其最大值，又g（b）=|b2+c|，再分当﹣1≤b≤0时和0＜b≤1时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有 ．再求出当b=0， 时g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 
，由此可得M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为 ．
【考点精析】掌握二次函数在闭区间上的最值是解答本题的根本，需要知道当
时，当
时，
；当
时在
上递减，当时，
．
