题目内容
【题目】已知函数.
(1)当,且
的最大值为
,求
的值;
(2)方程在
上的两解分别为
、
,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为
,令
,可得
,再令
,可将问题转化为二次函数
在
上的最大值为
,利用二次函数的基本性质可求出实数
的值;
(2)设,由题意求得
,
,
,由两角差的余弦公式可求出
的值,求出
的取值范围,进而利用二倍角余弦公式可求出
的值.
(1),
当时,令
,则
,则
.
,
令,令
,该二次函数图象开口向上,对称轴为直线
.
①当时,二次函数
在区间
上单调递减,
则,不合乎题意;
②当时,二次函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,则
,解得
或
(舍);
③当时,二次函数
在区间
上单调递增,
则,解得
(舍).
综上所述,;
(2)设,
,则
,
由于正弦函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
由,得
,
因为方程在
上的两解分别为
、
,
则,必有
,
,
所以,,同理
,
,
由于,
且
,
,则
,
由,可得
.
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