题目内容
【题目】如图，在棱长为2的正方体
中，M是线段AB上的动点．
证明：
平面
；
若点M是AB中点，求二面角
的余弦值；
判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）点
到平面
的距离为定值
.
【解析】
（1）利用正方体的性质得
，由线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系
求出平面
和平面
的法向量
，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）由（1）得点到平面的距离等于
上任意一点到平面的距离，结合（2）和点到面的距离公式得点到平面的距离即可.
（1）证明：因为在正方体
中，，
平面，
平面，
平面
（2）
在正方体中，
，
，
两两互相垂直，则建立空间直角坐标系
如图所示，则
，
，
，
，所以
，
，
，
，设向量
，
分别为平面和平面的法向量，由
取
，则
，
，
.
同理
取
，则
，
，
.
，
又二面角
的平面角为锐角，
二面角的余弦值为
（3）由（1）知
平面
.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离，取点为
，结和（2）和点到平面的距离
.点到平面的距离定值为
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