题目内容
【题目】如图,在几何体中,
,四边形
为矩形,平面
平面
,
.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)点在线段
上运动,设平面
与平面
所成二面角的平面角为
,试求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)根据余弦定理求得,根据勾股定理证得
,结合面面垂直的性质定理,证得
平面
,由此证得面
平面
.
(2)以为
轴建立空间直角坐标系,设出
点坐标,计算平面
和平面
的法向量,通过两个法向量计算
的表达式,进而求得
的取值范围.
(1)证明:在四边形中,∵
,∴
.
∴,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
.又因为
平面
,所以平面
平面
.
(2)由(1)知可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,令
.
则.
∴.
设为平面
的法向量,
由得
取
,则
.
是平面
的一个法向量,
∴.
,∴当
时,
有最小值
,当
时,
有最大值
.所以
的取值范围是
.
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