题目内容

【题目】如图,A,B,C,D四点在同一圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.

(1)若 = =1,求 的值;
(2)若EF2=FAFB,证明:EF∥CD.

【答案】
(1)解:∵A,B,C,D四点共圆,

∴∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B

∴△EDC∽△EBA,可得 = =

=( 2,即 =( 2

=


(2)解:证明:∵EF2=FAFB,

=

又∵∠EFA=∠BFE,

∴△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF,

又∵A,B,C,D四点共圆,

∴∠EDC=∠EBF,

∴∠FEA=∠EDC,

∴EF∥CD.


【解析】(1)根据圆内接四边形的性质,可得∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B,从而△EDC∽△EBA,所以有 = = ,利用比例的性质可得 =( 2 , 得到 = ;(2)根据题意中的比例中项,可得 = ,结合公共角可得△FAE∽△FEB,所以∠FEA=∠EBF,再由(I)的结论∠EDC=∠EBF,利用等量代换可得∠FEA=∠EDC,内错角相等,所以EF∥CD.

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