题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,其中
为常数;
(1)若,且
是奇函数,求
的值;
(2)若,
,函数
的最小值是
,求
的最大值;
(3)若,在
上存在
个点
,满足
,
,
,使得
,
求实数的取值范围;
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)因为函数为奇函数,根据奇函数定义可得可得对任意
恒成立,变形可得
对任意
恒成立,可求
;(2)将函数
的解析式讨论去掉绝对值号,
。两段函数的对称轴都为
,因为
。讨论
与-1的大小,可得两段二次函数在区间
上的单调性,求得最小值。得最小值
,求两段的取值范围,取较大的为最大值。(3)由(2)可知
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
,由绝对值不等式可得
,所以
,整理得
,解得
为所求.
试题解析:解:(1)∵是奇函数,∴
对任意
恒成立,
∴,即
对任意
恒成立,∴
;
(2)
,
∵,∴
,∴
,
①当时,
,
在
上递减,在
递增,
②当时,
,
在
上单调递增,
综上所述, ,
若,则
;若
,则
∴当时,
(3)∵,且
在
上单调递增,在
上单调递减,
∴
而
要使满足条件的点存在,必须且只需,即
,解得
为所求.
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