题目内容

12.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x-1,若函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0)且a≠0在区间(-2,6)内恰有4个零点,则实数a的取值范围是(  )
A.($\frac{1}{4}$,1)B.(1,4)C.(8,+∞)D.(1,8)

分析 由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数,且周期为4,将方程f(x)-loga(x+2)=0恰有4个不同的实数解,转化为函数f(x)的与函数y=-loga(x+2)的图象恰有4个不同的交点,数形结合即可得到实数a的取值范围

解答 解:∵对于任意的x∈R,都有f(x-2)=f(2+x),
∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x),
∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.
又∵当x∈[-2,0]时,f(x)=($\frac{\sqrt{2}}{2}$)x-1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数,
若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有4个不同的实数解,
则函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:

又f(-2)=f(2)=f(6)=1,
则对于函数y=loga(x+2),
由题意可得,当x=6时的函数值小于1,
即loga8<1,
由此解得:a>8,
∴a的范围是(8,+∞)
故选:C.

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,指数函数与对数函数的图象与性质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是解答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题.

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