题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知
是椭圆
上的一点,从原点
向
圆作两条切线,分别交椭圆于点
.
(1)若点在第一象限,且直线
互相垂直,求圆
的方程;
(2)若直线的斜率存在,并记为
,求
的值;
(3)试问是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由圆的方程可知,圆
的半径
,
,由此可求出圆的方程;(2)由已知得直线
和
都与圆
相切,化简可得
,再利用点在椭圆上,即可求解
的值;(3)当直线
不落在坐标轴上时,设
,利用直线方程与椭圆的方程联立方程组,得出
,同理
,由此可求解
为定值.
试题解析:(1)由圆的方程知圆
的半径
,因为直线
,
互相垂直,且和圆
相切,所以
,即
①
又点在椭圆
上,所以
②
联立①②,解得,所以,所求圆
的方程为
.
(2)因为直线和
都与圆
相切,所以
,
,化简得
,因为点
在椭圆
上,所以
,即
,所以
.
(3)方法一(1)当直线,
不落在坐标轴上时,设
,
,
由(2)知,所以
,故
.因为
,
在椭圆
上,所以
,
,
即,
,所以
,
整理得,所以
所以.
方法(二)(1)当直线,
不落在坐标轴上时,设
,
,
联立,解得
,
,所以
,
同理,得.由(2)
,得
,
所以
.
(2)当直线,
落在坐标轴上时,显然有
.
综上:.
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