Question

【题目】若函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1对于任意a∈[﹣1，1]，都有f（x）＜0，则实数x的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1，2）
【解析】解：函数可整理为f（x）=（x2﹣x+1）a+1﹣x ∵对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，
∴（x2﹣x+1）a+1﹣x＜0恒成立．
令g（a）=（x2﹣2x+1）a+1﹣x．
则函数g（a）在区间[﹣1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）为一次函数，且一次项系数x2﹣2x+1＞0，
∴函数g（a）在区间[﹣1，1]上单调递增，
∴g（a）max=g（1）=x2﹣2x+1+1﹣x=x2﹣3x+2＜0．
解得1＜x＜2．
所以答案是：（1，2）．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．