Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=PA=4，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PCE⊥平面PCD．
（1）求证：AG⊥平面PCD；
（2）求直线PD与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，CD∩PD=D

∴AG⊥平面PCD

（2）解：如图建立坐标系，则P（0，0，3），C（4，4，0），D（0，4，0），G（0，2，2），

设E（a，0，0），由（1）知： 是面PCD的法向量，

又 ， ，设面PCE的法向量为 ，

则 ，取x=4，得：

因平面PCE⊥平面PCD， ，∴a=2，即：

又 ，设PD与面PCE所成的角为θ，

则：

【解析】（1）先证明出CD⊥平面PAD，进而可推断出CD⊥AG，然后利用AG⊥PD，根据线面垂直的判定定理证明出结论．（2）建立坐标系，先求出面PCE的法向量，再利用向量的夹角公式求出直线PD与平面PCE所成角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．